সেট ও ফাংশন

অধ্যায়: ২


সেট: বাস্তব বা চিন্তা জগতের সু-সংজ্ঞায়িত বস্তুর সমাবেশ বা সংগ্রহকে সেট বলে।

সেটকে সাধারণত ইংরেজি বর্ণমালার বড় হাতের অক্ষর $A,B,C$ ... $X,Y,Z$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

গাণিতিকি সমস্যা সমাধানের জন্য প্রতীক সমূহ:
নাম প্রতীক নামের উৎপত্তি
সেটের প্রতীক $\{\}$ Set: a collection of elements. উদাহরণ: {1, 2, 3, 4}
উপাদান $\in$ Element of: a is in A. $$a \in A$$ উদাহরণ: $$3 \in\{1,2,3,4\}$$
উপাদান নয় $\notin$
উপসেট $\subset$ যদি A সেটের প্রতিটি উপাদান B সেটেরও উপাদান হয় তবে A সেটকে B সেটের উপসেট বলে। A সেট B সেটের উপসেট হলে, যদি x∈A হয় তবে অবশ্যই x∈B হবে।
প্রকৃত উপসেট $\subset$ A সেটের প্রত্যেক উপাদান যদি B সেটে বিদ্যমান থাকে এবং B সেটে অন্তত একটি উপাদান থাকে যা A সেটে নাই, তবে A সেটকে B সেটের প্রকৃত উপসেট বলে।
অপ্রকিত উপসেট $\subseteq$
উপসেট নয় $\not \subset$
ছেদ সেট $\cap$ দুই বা ততোধিক সেটের সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে ছেদ সেট বলে।
সকল স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbf{N}$ স্বাভাবিক সংখ্যা (Natural Number) শূন্য অপেক্ষা বড় যেকোনো পূর্ণ সংখ্যা
পূর্ণ সংখ্যার সেট $\text { Z }$ যেসমস্ত সংখ্যার কোন ভগ্নাংশ থাকে না তাদের বলে পূর্ণ সংখ্যা। যেমন: ১, -৪, ১৭ ইত্যাদি।
সকল মূলদ সংখ্যার সেট $Q$ মূলদ সংখ্যা (Rational Number) হচ্ছে সেই সকল বাস্তব সংখ্যা যাদের ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। যেখানে p এবং q উভয় পূর্ণ সংখ্যা, p ও q সহমৌলিক সংখ্যা এবং ${\displaystyle q\neq 0}$ [A Rational Number can be written as a Ratio of two integers (ie a simple fraction).]
সকল অমূলদ সংখ্যার সেট $Q^{c}$ অমূলদ সংখ্যা (Irrational Numbers) হল সেসব বাস্তব সংখ্যা যেগুলোকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না। অমূলদ সংখ্যাকে দশমিক-এ প্রকাশ করার চেষ্টা করলে দশমিকের পর যত ঘর অবধি-ই দেখা হবে, কোন পৌনঃপুনিকতা দেখা যাবে না। উদাহরণ: বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত π, দুই এর বর্গমূল ${\displaystyle {\sqrt {2}}}\sqrt{2}$ বর্গসংখ্যা বাদে সকল অখণ্ডসংখ্যার সমস্ত বর্গমূল, অমূলদ।
সকল বাস্তব সংখ্যার সেট $R$ বাস্তব সংখ্যা (Real Numbers): ধনাত্মক সংখ্যা, ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য - সব‌ই বাস্তব সংখ্যা । অর্থাৎ যে সকল সংখ্যাকে সংখ্যারেখা-র মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সংখ্যা বলে। কোনো ঋণাত্নক সংখ্যার বর্গমূল কখনও বাস্তব সংখ্যা হতে পারেনা কারণ ঋণাত্নক অথবা ধনাত্নক উভয় প্রকার রাশির বর্গ ধনাত্নক রাশি। কাজেই ঋণাত্নক সংখ্যার বর্গমূল কে বলা হয় অবাস্তব সংখ্যা। Imaginary number i.
Less than $<$ Less than—the number on the left is less than the number on the right; 2 < 3
Greater than $>$ Greater than—the number on the left is greater than the number on the right; 3 > 2
Less than or equal to $\leq$ Less than or equal to—the number on the left is less than or equal to the number on the right; 2 or 3 ≤ 3
Greater than or equal to $\geq$ Greater than or equal to—the number on the left is greater than or equal to the number on the right; 2 or 3 ≥ 2
not equal $\neq$ Does not equal—the number on the left does not equal the number on the right; 2 ≠ 3

তথ্য কণিকা-

  • বিভিন্ন বস্তুর সংগ্রহ কিংবা গুচ্ছ বোঝাতে সেট শব্দটি ব্যবহার করা হয়, (A set is a collection of objects). সহজ কথায় সেট হচ্ছে কোনো কিছুর কালেকশন।
  • একটি সেট এর প্রত্যেকটি বস্তু বা সংখ্যা গুলো হচ্ছে ওই সেটের উপাদান বা সদস্য
  • শূন্য থেকে বড় সকল পূর্ণ সংখ্যা বা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে স্বাভাবিক সংখ্যা বলে, স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো হল ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, . . . . ইত্যাদি।
  • মৌলিক সংখ্যা (Prime number): এমন প্রাকৃতিক সংখ্যা যার কেবলমাত্র দুটো পৃথক উৎপাদক আছে: ১ এবং ঐ সংখ্যাটি নিজে। প্রথম ছাব্বিশটি মৌলিক সংখ্যা হল: ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭, ৪১, ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭, ৭১, ৭৩, ৭৯, ৮৩, ৮৯, ৯৭, ১০১.
  • স্বাভাবিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম মান 1 এবং এর সেট কে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
  • স্বাভাবিক সংখ্যার সেট অসীম। স্বাভাবিক সংখ্যার সেটকে N দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
  • স্বাভাবিক সংখ্যার সেট: N = {1, 2, 3, 4, . . . . .}
  • গুণিতক (Multiples): কোনো সংখ্যার সঙ্গে যেকোনো পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে গুণিতক বলে। যেমন ৩ এর গুণিতকগুলো হলো ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫..., ৬-এর গুণিতকসমূহ ৬, ১২, ১৮, ২৪... ইত্যাদি। সহজভাবে আমরা বলতে পারি গুণিতক হলো পূর্ণসংখ্যার নামতা।
  • গুণনীয়ক (Factors): কোনো সংখ্যার গুণনীয়ক হলো যে সংখ্যা দ্বারা ওই সংখ্যাকে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকে না। উদাহরণ : ৮-এর গুণনীয়ক ১, ২, ৪, ৮। এই গুণনীয়কের আরেকটি নাম আছে। একে বলে উৎপাদক।
গ্রেটার দেন ও লেস দেন মনে রাখার জন্য একটি কুমিরের হাঁ করা মুখ কল্পনা কর। যে পাশে বেশি সংখক মাছ আছে সে পাশে কুমির হাঁ করে আছে, আর সে পাশের সংখ্যাটা বড়।
  1. নিচের সেটগুলোকে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ

    1. $$ \left\{x \in N: x^{2}>9 \text { এবং } x^{3}<130\right\} $$

      সমাধানঃ যে সকল স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গ ৯ অপেক্ষা বড় এবং ঘন ১৩০ অপেক্ষা ছোট তাদের সেট।

      আমরা জানি,
      স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,4,5,6,7……..}

      $$ \begin{aligned} &\text { এখানে, } x=1 \text { হলে, } x^{2}=1^{2}=1 \ngtr 9 \quad \text { এবং } x^{3}=1^{3}=1<130\\ &x=2 \text { হলে, } x^{2}=2^{2}=4 \ngtr 9 \quad \text { এবং } x^{3}=2^{3}=8<130\\ &\mathrm{x}=3 \text { হলে, } \mathrm{x}^{2}=3^{2}=9 \ngtr 9 \quad \text { এবং } \mathrm{x}^{3}=3^{3}=27<130\\ &x=4 \text { হলে, } x^{2}=4^{2}=16>9 \text { এবং } x^{3}=4^{3}=64<130\\ &\mathrm{x}=5 \text { হলে, } \mathrm{x}^{2}=5^{2}=25>9 \text { এবং } \mathrm{x}^{3}=5^{3}=125<130\\ &x=6 \text { হলে, } x^{2}=6^{2}=36>9 \text { এবং } x^{3}=6^{3}=216 \nless 130\\ \ldots\\ \end{aligned} $$

      $$ \begin{aligned} \therefore \text { শর্তানুসারে গ্রহণযোগ্য সংখ্যা গুলো হলো - } 4,5\\ \text { निর্ণেয় সেট }=\{4,5\}\\ \end{aligned} $$

    2. $$ \left\{x \in {Z}: {x}^{2}>5 \text { এবং } {x}^{2} \leq 36\right\} $$

  2. $\boldsymbol{P=\{x:x \in N}$ এবং $\boldsymbol{x,52}$ এর গুণনীয়ক $\boldsymbol{\}}$
    $\boldsymbol{\quad}$ $\boldsymbol{Q=\{x:x}$ ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যা এবং $\boldsymbol{x\leq15\}}$
    $\boldsymbol{\quad}$ এবং $\boldsymbol{R=\{x:x}$ পূর্ণসংখ্যা এবং $\boldsymbol{x^2<15\}}$
    $\boldsymbol{\quad}$ ক) $\boldsymbol{P}$ এবং $\boldsymbol{Q}$ কে তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশ কর।
    $\boldsymbol{\quad}$ খ) $\boldsymbol{R}$ কে তালিকা পদ্ধতিতে এবং $\boldsymbol{P}$ ও $\boldsymbol{Q}$ কে ভেনচিত্রের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
    $\boldsymbol{\quad}$ গ) $\boldsymbol{P\cap Q}$ এবং $\boldsymbol{(P\cup Q)\cap R}$ নির্ণয় কর।

    আমরা জানি,
    স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,4,5,6,7……..}

    $$ \begin{aligned} &\text { এবং } 52=1 \times 52=2 \times 26=4 \times 13 \\ &\quad 52 \text { এর গুণনীয়কসমূহ } 1,2,4,13,26,52 \\ &\therefore P=\{x: x \in N \text { এবং } x, 52 \text { এর গুণনীয়ক }\} \\ &=\{1,2,4,13,26,52\} . \\ &Q=\{x: x \text { ধনাত্মক বিজোড় সংখ্যা এবং } x \leq 15\} \\ &=\{1,3,5,7,9,11,13,15\} . \end{aligned} $$