কাজ ক্ষমতা

গাণিতিকি সমস্যা সমাধানের জন্য প্রতীক সমূহ:
নাম প্রতীক নামের উৎপত্তি
কাজ, শক্তি, কার্যকর শক্তি, কৃতকাজ $W$ Work
ক্ষমতা, কার্যকর ক্ষমতা $P$ Power
উচ্চতা $h$ height
ভর $m$ mass
সময় $t$ time
অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$ gravitational acceleration
কর্মদক্ষতা $\eta$ গ্রীক ছোটো হাতের অক্ষর η (ইটা)
গাণিতিকি সমস্যা সমাধানের জন্য সূত্র সমূহ:
  • যদি উচ্চতা, ভর, সময় দেয়া থাকে তাহলে, ক্ষমতা। যেমন কোন কিছু উপরে উঠানো বা নিচে নামানো

    $ P=\frac{m g h}{t} $

  • যদি কাজ / বায়িত শক্তি দেয়া থাকে তাহলে, ক্ষমতা

    $ P=\frac{W}{t} $

  • যদি বস্তু সরল রেখায় এবং সমবেগে চলে, তাহলে কাজ বা ব্যায়িত শক্তি, W -

    $ W=\frac{1}{2} m v^{2} $

  • বস্তু যদি ত্বরণে চলে, তাহলে কাজ, W-

    $ W=F s=m a s $

  • কোনো যন্ত্র থেকে প্রাপ্ত মোট কার্যকর শক্তি এবং যন্ত্রে প্রদত্ত মোট শক্তির অনুপাতকে ঐ যন্ত্রের কর্মদক্ষতা বলে।

    $ \text { কর্মদক্ষতা, } \eta=\frac{\text { লভ্য কার্যকর্ শক্তি }}{\text { প্রযুক্ত মোট শক্তি }} $

০১ঃ প্রশ্ন পাঠ্যবইয়ের সৃজনশীল প্রশ্ন-০১

40 kg ভরের একটি বালক এবং 60 kg ভরের একজন যুবক এওক্টি ভবনের নিচতলা থেকে একসাথে দৌড় শুরু করে দৌড়ে একই সময়ে ছাদের একই জায়গায় পৌছালেন।দৌড়ের সময় উভয়ের বেগ ছিল 30 m/min

ক. ক্ষমতা কী ?

খ. 50 Jকাজ বলতে কী বুঝ?

গ. যুবকের গতিশক্তি নির্ণয় কর।

ঘ. ছাদে উঠার ক্ষেত্রে দুইজনের ক্ষমতা সমান ছিল কি না? গাণিতিক যুক্তিসহ যাচাই কর।

১নং প্রশ্নের উত্তর

ক্ষমতা হচ্ছে কাজ করার বা শক্তি রূপান্তরের হার।

50 J কাজ বলতে বুঝায়-

50 N বল প্রয়োগের ফলে বলের দিকে বলে প্রয়োগ বিন্দুকে 1 m সরাতে যে কাজ সম্পাদিত হয়।

1 Nবল প্রয়োগের ফলে বলের দিকে বলের প্রয়োগ বিদুকে 50 m সরাতে যে কাজ সম্পাদিত হয়।

আমরা জানি, গতিশক্তি, এখানে,যুবকের ভর,m=60 kg

Ek=mv2 বেগ, v=30 m/min =ms-1

= *60 kg*(0.5ms-1)2

= 7.5 J

অতএব,যুবকের গতিশক্তি 7.5 J ।

মনে করি,ভূমি থেকে ছাদের উচ্চতা এবং বালক ও যুবকের ছাদে উঠতে সময় লাগে ।

বালকের ব্যয়িত শক্তি = কৃতকাজ এখানে,বালকের ভর, m1=40 kg

=বল*সরণ যুবকের ভর, m2=60 kg

=ওজন*সরণ

=m1g *h

বালকের ক্ষমতা,p1==

আবার,যুবকের ব্যয়িত শক্তি =কৃতকাজ

=বল * সরণ=ওজন*সরণ=m2g*h

যুবকের ক্ষমতা,P2==

এখন, ===40/60 kg=2/3

বা,p2= 3/2 p1

এখানে যুবকের ক্ষমতা বালকের ক্ষমতার 3/2গুণ ।অর্থাত,যুবকের ক্ষমতা বালকের ক্ষমতার চেয়ে বেশি। তাই দুজনের ক্ষমতা সমান ছিল না।

প্রশ্ন ০২ঃ পাঠ্যবইয়ের সৃজনশীল প্রশ্ন-০২

জেনি একটি বাড়ির 5 তলায় থাকে।প্রতিটি সিঁড়ির উচ্চতা 20 সেমি এবং প্রতি তলায় 22 টি সিঁড়ি থাকলে 5 তলায় উঠতে জেনির 4 মিনিট সময় লাগে । ঐ 5 তলায় উঠতে সুস্মিতার 4.5 মিনিট সময় লাগে।এখানে উল্লেখ্য যে ,জেনির ভর 64 কেজি সুস্মিতার ভর 75 কেজি।

ক. শক্তির প্রধান উৎস কী?

খ. কাজ ও শক্তি এর মধ্যে দুটি মিল লিখ।

গ.জেনি কী পরিমাণ কাজ সম্পাদন করেছিল হিসাব কর।

ঘ. জেনি ও সুস্মিতার মধ্যে কার ক্ষমতা বেশি ?উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দাও।

২নং প্রশ্নের উত্তর

শক্তির প্রধান উৎস সূর্য।

কাজ ও শক্তির মধ্যে দুটি মিল হলো-

১. কাজ ও শক্তি উভয়ই স্কেলার রাশি।

২. কাজ ও শক্তি উভয়ের একক ও মাত্রা একই।

এখানে, প্রতিটি সিঁড়ির উচ্চতা, x=20 cm=0.2 m

5 তলায় মোট সিঁড়ির সংখ্যা = 4*22 টি = 88 টি

৫ম তলার উচ্চতা, h=88x =(88*0.2)m =17.6m

জেনির ভর, m1=64 kg

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g=9.8 ms-2

জেনির সম্পাদিত কাজ, W1=?

আমরা জানি,

W1= Fh

= m1gh

=64kg*9.8 ms-2*17.6m

=11038.72 J

অতএব,জেনি 11038.72 J কাজ সম্পাদন করেছিল।

জেনির কাজ সম্পাদনের সময়, t1=4 min=(4*60)s =240 s

এবং সম্পাদিত কাজ, W1=11038.72 J [গ নন হতে প্রাপ্ত ]

জেনির ক্ষমতা,

P1===45.995 W

আবার,সুস্মিতার ভর,m2=75 kg

অভিকর্ষজ ত্বরণ,g=9.8 ms-2

উচ্চতা,h=17.6m [গ হতে]

সুস্মিতার সম্পাদিত কাজ,W2=m2gh=75kg*9.8 ms-2*17.6m

=12936 J

তলায় উঠতে প্রয়োজনীয় সময়,t2=4.5 min=(4.5*60)s =270 s

সুস্মিতার ক্ষমতা,P2===47.91 W

P2>P1জেনি অপেক্ষা সুস্মিতার ক্ষমতা বেশি।

প্রশ্ন ০৩ঃঢাকা বোর্ড ২০২০

দৃশ্য-১ঃএকটি যন্ত্রের সাহায্যে 500 kg পানি 5 মিনিটে 50 m উচ্চতায় উঠানো হলো।যন্ত্রটির কর্মদক্ষতা 45% ।

দৃশ্য-২ঃ 4 kg ভরের একটি বস্তুকে 40 ms-1 বেগে খাড়া উপরে নিক্ষেপ করা হলো। [g=9.8 ms-2]

ক.সুষম ত্বরণ কাকে বলে ?

খ.বায়োমাসকে নবায়নযোগ্য শক্তির উৎস বলার কারণ ব্যাখ্যা কর।

গ. দৃশ্য-২ থেকে কত উচ্চতায় বস্তুটির বিভবশক্তি গতিশক্তির দ্বিগুন হবে?

ঘ. দৃশ্য-১ থেকে যন্ত্রটির কর্মদক্ষতা 10%বেশি হলে ব্যয়িত শক্তির কী পরিমাণ পরিবর্তন হবে তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

৩নং প্রশ্নের উত্তর

কোনো বস্তুর বেগ যদি নির্দিষ্ট দিকে সবসময় একই হারে বাড়তে থাকে তাহলে সে ত্বরণ কে সুষ্ম ত্বরণ বলে।

বায়োমাস বলতে সেই সব জৈব পদার্থকে বুঝায় যাদেরকে শক্তিতে রূপান্তরিত করা যায়।জৈব পদার্থসমূহ যাদেরকে বায়োমাস শক্তির উৎস হিসেবে ব্যবহার করা যায় সেগুলো হচ্ছে গাছ-গাছালী, জ্বালানি কাঠ,কাঠের বর্জ্য ,শস্য,ধানের তুষ ও কুড়া ,লতা-পাতা,পশু-পাখির মল,পৌর বর্জ্য ইত্যাদি। নবায়নযোগ্য শক্তির অন্যতম উৎস বায়োমাস।বায়োমাস থেকে সহজে বায়োগ্যাস উৎপাদন করা যায়।এ গ্যাস আমরা প্রাকৃতিক গ্যাসের বিকল্প হিসেবে রান্নার কাজে এমনকি বিদ্যুৎ উৎপাদনের কাজেও ব্যবহার করতে পারি।এজন্য বায়োমাকে নবায়নযোগ্য শক্তির উৎস বলা যায়।

ধরি,ভূমি হতে h উচ্চতায় বস্তুটির বিভব শক্তি গতিশক্তির দ্বিগুন হবে।এই উচ্চতায় বস্তুটির বেগ v হলে-

v2=u2-2gh……………..(1)

শর্তানুসারে, Ep=2Ek আদিবেগ,u=40 ms-1

mgh =2*mv2 অভিকর্ষজ ত্বরণ,g=9.8 ms-2

gh=v2

gh= u2-2gh

h===54.42 m

অতএব,ভূমি হতে 54.42 m উচ্চতায় বিভব শক্তি গতিশক্তির দ্বিগুন হবে।

এখানে,

পানির ভর, m=500kg

সময়, t=5min=300s

উচ্চতা, h=50m

অভিকর্ষজ ত্বরণ,g=9.8 ms-2

কর্মদক্ষতা,N=45%=0.45

পরিবর্তিত কর্মদক্ষতা,N’ =(45+10)%=55%=0.55

দৃশ্য-১ এ কার্যকর শক্তি , W=mgh

=500kg*9.8 ms-2*50m

=245000 J

দৃশ্য-১ এ যন্ত্রটির ব্যয়িত শক্তি,W’===544444.44 J

পরির্তিত কর্মদক্ষতায় ব্যয়িত শক্তি,W”= = =445454.55 J

ব্যয়িত শক্তির পরিবর্তন, dW=W’’-W’

= (544444.44-445454.55) J

= -98989.9 J

এখানে ঋণাত্নক চিহ্ন ব্যয়িত শক্তির হ্রাস নির্দেশ করছে।

অতএব,দৃশ্য-১ থেকে যন্ত্রটির কর্মদক্ষতা 10 % বেশি হলে ব্যয়িত শক্তি 98989.9 J

হ্রাস পাবে।

প্রশ্ন ০৪ঃযশোর বোর্ড ২০২০

7.80 gm/cc ঘনত্বের একটি গোলকের ব্যাস ,স্লাইড ক্যালিপার্স দিয়ে পরিমাপ করতে গিয়ে প্রধান স্কেলে পাঠ পাওয়া গেল 5cm ।ভার্নিয়ার সমপাতন 9 এবং ভার্নিয়ার স্কেলটির 20 টি দাগের সাথে প্রধান স্কেলের 19 দাগের সাথে মিলে যায়।প্রধান স্কেলের ক্ষুদ্রতম একভাগ 1mm ।গোলকটি ভূমি হতে 50 m উচ্চতায় নিয়ে স্থির অবস্থান হতে ছেড়ে দেওয়া হলো।

ক. অসাম্য বল কাকে বলে?

খ. বস্তুর ভরের পরিবর্তন হয় না কিন্তু ওজনের পরিবর্তন হয়-ব্যাখ্যা কর।

গ. গোলকটির ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।

ঘ. ভূমি হতে 15 m উচ্চতায় গতিশক্তি ও বিভব শক্তির মধ্যে কোনটির পরিমাণ বেশি হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণ কর।

০৪নং প্রশ্নের উত্তর

কোনো বস্তুর উপর এক বা একধিক বল ক্রিয়া করলে যদি বলের লব্দি কাজ করে অর্থাৎ বস্তুর ত্বরণ হয় তখন বস্তুটি সাম্যবস্থায় থাকে না।যে বল বা বলগুলো এ অসাম্যবস্থার সৃষ্টি করে তাকে অসাম্য বল বলে।

ভর বস্তুর মৌলিক বৈশিষ্ট্য,যার কোনো পরিবর্তন হয় না। বস্তুর ত্বরণ অভিকর্ষজ ত্বরণের উপর নির্ভর করে।পৃথিবী সম্পূর্ণ গোলাকার না হওয়ায় এর ব্যাসার্ধ সর্বত্র সমান নয়।মেরু অঞ্চলে পৃথিবীর ব্যাসার্ধ সবচেয়ে কম এবং বিষুব অঞ্চলে সবচেয়ে বেশি।এতে মেরু অঞ্চলে অভিকর্ষজ ত্বরণ সবচেয়ে বেশি এবং বিষুব অঞ্চলে সবচেয়ে কম হয়।এজন্য বস্তুর ওজন পৃথিবীর বিভিন্ন স্থানে বিভিন্ন হয়।

অতএব,বলা যায়,বস্তুর ভরের পরিবর্তন হয় না কিন্তু ওজনের পরিবর্তন হয়।

এখানে,ভার্নিয়ার সমপাতন, V=9

ভার্নিয়ার ধ্রুবক, V.C=mm =5*10-3 cm

প্রধান স্কেল পাঠ, M=5 cm

আমরা জানি,

গোলকটির ব্যাস, d=M+V*V.C

=5 cm +9*5*10-3 cm

=5.045 cm

অতএব, গোলকটির ব্যাসার্ধ, r =d/2

=5.045/2 cm=2.5225 cm

এখানে, আদিবেগ, u=0

আদি উচ্চতা, H=50m

চূড়ান্ত উচ্চতা, h=15 m

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g=9.8 ms-2

গোলকের ঘনত্ব, p=7.80 gm/cc

গোলকের ব্যাসার্ধ, r=2.5225 cm [গ হতে]

গোলকটির ভর, m=pV=p*πr3

=*7.80 gm/cc *3.1416 *(2.5225 cm)3

=524.42 gm =0.52442 kg

h উচ্চতায় গোলকটির বিভব শক্তি,Ep=mgh

=0.52442 kg *9.8 ms-2*15m

=77.09 J

h উচ্চতায় গোলকটির গতিশক্তি,

Ek=mv2

=m{u2+2g(H-h)

=m*2g(H-h)

=mg(H-h)

=0.52442 kg *9.8 ms-2*(50-15)m

=179.88 J

দেখা যাচ্ছে, Ek>Ep

অতএব,ভূমি হতে 15m উচ্চতায় গতিশক্তি বিভব শক্তি অপেক্ষা বেশি হবে।

প্রশ্ন ০৪ঃচট্টগ্রাম বোর্ড ২০২০

দৃশ্যকল্প-০১ঃ 588 W ক্ষমতার একজন লোক 300 g ভরের একটি ক্রিকেট বলকে 40 m/s বেগে উপরের দিকে ছুরে দিলেন।

দৃশ্যকল্প-০২ঃ 2 KW ক্ষমতার একটি মটর 20 s এ 100 kg ভরের একটি বস্তুকে 20 m উচ্চতায় তুলতে পারে।

ক. বায়োমাস শক্তি কাকে বলে?

খ. ভরবেগ এবং গতিশক্তির মধ্যে সুম্পর্ক ব্যাখ্যা কর।

গ. দৃশ্যকল্প-০১ এ কত উচ্চতায় ক্রিকেট বিভব শক্তি ও গতিশক্তি সমান হবে?

ঘ. দৃশ্যকল্প-০২ এ মোটরের কর্মদক্ষতা নির্ণয়ের মাধ্যমে শক্তি অপচয়ের পরিমাণ ও প্রক্রিয়া ব্যাখ্যা কর।

০৫নং প্রশ্নের উত্তর

বায়োমাস হলো সেই সকল জৈব পদার্থ যাদেরকে শক্তিতে রূপান্তরিত করা যায়।আর এই বায়োমাস থেকে প্রাপ্ত শক্তিকে বায়োমাস শক্তি বলে।

কাজ-শক্তি উপপাদ্য অনুসারে, গতিশক্তি,Ek=W=mas

কিন্তু,v2=u2+2as

বা, as=

বা, mas=

বা, Ek=mv2/2

আবার,ভরবেগ,p=mv

বা, P2=m2v2

বা, P2/2m=m2v2/2

সুতরাং, Ek=p2/2m

এখন ,বস্তুর ভর ধ্রুবক,তাই অর্থাৎ গতিশক্তি বস্তুর ভরবেগের বর্গের সমানুপাতিক।

ধরি, h উচ্চতায় ক্রিকেট বলটির বিভব শক্তি গতিশক্তির সমান হবে।এই উচ্চতায় বলটির বেগ v হলে,

v2=u2-2gh…………..(1)

শর্তানুসারে,

Ep=Ek

বা, mgh=mv2

বা, gh=*(u2-2gh)

বা, 2gh=u2

বা, 4gh=u2

বা, h==

=40.82 m

অতএব, 40.82 m উচ্চতায় ক্রিকেট বলটির বিভব শক্তি গতিশক্তির সমান হবে।

এখানে,বস্তুর ভর, m=100 kg

সময়, t=20 s

উচ্চতা, h=20 m

মোটরের ক্ষমতা, P’=2 kW=2000 W

অভিকর্ষজ ত্বরণ, g=9.8 ms-2

মোটরের কার্যকর ক্ষমতা, P= =980 W

মোটরটির কর্মদক্ষতা, N=*100%=*100% =49%

মোটরটির শক্তির অপচয়, =(1-N)*P’*t

=(1-0.49)*2000W*20 s

=20400 J

শক্তি অপচয় প্রক্রিয়াঃ যেহেতু মোটর একটি ঘূর্ণায়মান বস্তু,তাই এর বিভিন্ন অংশের মধ্যে ঘর্ষণের দরুণ শক্তির অপচয় ঘটবে এবং মোটরটিতে তড়িৎ অথবা রাসায়নিক শক্তি হতে যান্ত্রিক শক্তি উৎপন্ন হয়। শক্তির এরূপ রূপান্তরের ফলে কিছুই শক্তির অপচয় ঘটে।আবার,মোটরটি যদি তাড়িত হয়ে থাকে,তবে এর কুন্ডলীসমূহের রোধের দরুণ কিছু পরিমাণ শক্তির অপচয় ঘটবে।